KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

- Desember 05, 2021

Nama : Cahya Dwi Utami

Kelas : X IPS3

Absen : 6

KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.
Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa $f(x)$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .
Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan $g o f$ sehingga:
dengan syarat: $R_f \cap D_g \not= {\O}$ .
Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ , dan $h:C \rightarrow D$ , maka $h o g o f:A \rightarrow D$ dan dinyatakan dengan:
$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif $(g o f)(x) \not= (f o g)(x)$
Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$
Contoh:
Jika $f(x) = 2x + 3$ dan $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$ , maka g(x) adalah
$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$
$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$
$g(x) = x^2 + 3x - 5$

Fungsi Invers

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ memiliki relasi dengan fungsi $g:B \rightarrow A$ , maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis $f^{-1}$ atau $g = f^{-1}$ . Jika $f^{-1}$ dalam bentuk fungsi, maka $f^{-1}$ disebut fungsi invers.

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi $y = f(x)$ dapat ditempuh dengan cara berikut:
Ubah persamaan $y = f(x)$ ke dalam bentuk $x = f(y)$
Gantikan x dengan $f^{-1}(y)$ sehingga $f(y) = f^{-1}(y)$
Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa $f^{-1}$
Contoh:
Menentukan invers dari $=x^2 - 2x + 4$ :
$y = [x^2 - 2x + 4$
$y = (x - 1)^2 + 3$
$(x - 1)^2 = y - 3$
$x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}$
$x = \pm \sqrt{y -3 + 3}$
Sehingga inversnya adalah
$f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1}$ dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

Rumus Fungsi Invers
JENIS FUNGSI f(x) $f^{-1}(x)$
Fungsi linier $f(x) = ax + b$ $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$
Fungsi pecahan linier $f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}$ $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$
Fungsi Irrasional $f(x) =\sqrt[n]{ax+b}$ $f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}$
Fungsi eksponen $f(x) = a^x$ $f^{-1}(x) = ^a\log x$
Fungsi logaritma $f(x) = ^a\log x$ $f^{-1}(x) = a^x$
Contoh
JENIS FUNGSI $f(x)$ $f^{-1}(x)$
Fungsi linier $f(x) = 2x+3$ $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$
Fungsi pecahan linier $f(x) = \frac{2x+3}{4x+5}$ $f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}$
Fungsi Irrasional $f(x) = \sqrt[4]{2x+3}$ $f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}$
Fungsi eksponen $f(x) = 2^x$ $f^{-1}(x) = ^2\log x$
Fungsi logaritma $f(x) = ^2\log x$ $f^{-1} = 2^x$

Invers dari Fungsi Komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = 3x - 5$ , dan $h(x) = x =1$ .
Jika $f^{-1},g^{-1},h^{-1}$ adalah invers fungsinya yaitu $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ , $g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}$ , dan $h^{-1}(x) = x - 1$ , maka dirumuskan beserta contohnya:
$(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$
$(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))$
$(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}$
$(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$
$(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))$
$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}$
$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)$
$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))$
$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})$
$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}$
$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)$
$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))$
$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})$
$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}$
Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:
Jika diketahui $g(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)$
Jika diketahui $f(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)$
Jika diketahui $f(x)$ , $g(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $(f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))$
Jika diketahui $f(x)$ , $h(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))$

Daftar Pustaka : https://www.studiobelajar.com/relasi-fungsi-komposisi-invers/

Komentar